Μαθηματικός Λογισμός [open] (321-1105)

Γιώργος Κοφινάς

Description

Μαθηματική επαγωγή. Πληρότητα των πραγματικών αριθμών. Συναρτήσεις. Όρια. Συνέχεια, θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων. Ομοιόμορφη συνέχεια. Παράγωγος, παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης, παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων, διαφορικό. Εφαρμογές παραγώγων, ακρότατα, κοιλότητα, γραφήματα συναρτήσεων, θεώρημα μέσης τιμής Cauchy, κανόνας L’Hopital, γραφική επίλυση αυτόνομων διαφορικών εξισώσεων, προσεγγιστική μέθοδος Newton. Ολοκλήρωμα, αόριστο, ορισμένο, μέθοδοι ολοκλήρωσης. Όγκος στερεών εκ περιστροφής. Γενικευμένα ολοκληρώματα. Υπερβατικές συναρτήσεις. Διαχωρίσιμες, γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Το θεώρημα Taylor.

CC - Attribution-NonCommercial-ShareAlike
Περιεχόμενο μαθήματος

Μαθηματική επαγωγή. Πληρότητα των πραγματικών αριθμών. Συναρτήσεις. Όρια. Συνέχεια, θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων. Ομοιόμορφη συνέχεια. Παράγωγος, παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης, παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων, διαφορικό. Εφαρμογές παραγώγων, ακρότατα, κοιλότητα, γραφήματα συναρτήσεων, θεώρημα μέσης τιμής Cauchy, κανόνας L’Hopital, γραφική επίλυση αυτόνομων διαφορικών εξισώσεων, προσεγγιστική μέθοδος Newton. Ολοκλήρωμα, αόριστο, ορισμένο, μέθοδοι ολοκλήρωσης. Όγκος στερεών εκ περιστροφής. Γενικευμένα ολοκληρώματα. Υπερβατικές συναρτήσεις. Διαχωρίσιμες, γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Το θεώρημα Taylor. 

Μαθησιακοί στόχοι

Ο στόχος του μαθήματος είναι να δώσει μία πλήρη αλλά και χρηστική γνώση του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Καλύπτει και επεκτείνει ύλη που έχει παρουσιαστεί στα τελευταία χρόνια του σχολείου περιλαμβάνοντας τις συναρτήσεις, τον βασικό λογισμό, τα όρια, τις παραγώγους και τα ολοκληρώματα. Ένας στόχος του μαθήματος είναι να παράσχει μια στέρεη γνώση της ανάλυσης συναρτήσεων μιας μεταβλητής και να εκθέσει τη μαθηματική αυστηρότητα μέσω των αποδείξεων των περισσοτέρων θεωρημάτων και προτάσεων.

Βιβλιογραφία
  • Thomas Απειροστικός Λογισμός, Τόμος Ι, Finney R.L, Weir M.D, Giordano F.R., Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. Απλό βιβλίο, εύκολα κατανοητό με πολλές εφαρμογές, συνίσταται για πρώτο διάβασμα.
  • Απειροστικός Λογισμός, M. Spivak, Publish or Perish, Inc. Πολύ καλό βιβλίο με ευκολότερα και δυσκολότερα θέματα, πολύ εκτενές και αναλυτικό. Συνίσταται σαν δεύτερο βιβλίο.
  • Answer Book for Calculus, M. Spivak, Publish or Perish, Inc. Συνοδευτικό του προηγούμενου βιβλίου του Spivak με λυμένες ασκήσεις.
  • Απειροστικός Λογισμός, Τόμος Ι, Σ. Νεγρεπόντη, Σ. Γιωτόπουλου, Ε. Γιαννακούλια, Εκδόσεις Συμμετρία. Αυστηρό μαθηματικό βιβλίο, συνίσταται για πιο εξεζητημένη μελέτη.
  • A first course in Calculus, S. Lang, Springer. Κλασσικό αλλά συνοπτικό βιβλίο. 
Μέθοδοι διδασκαλίας


Δια ζώσης διδασκαλία.

Μέθοδοι αξιολόγησης

Τελική γραπτή εξέταση. 

Προαπαιτούμενα

Δεν υπάρχουν προαπαιτούμενα.

Διδάσκοντες

Γεώργιος Κοφινάς


Σύντομο Βιογραφικό στον σύνδεσμο:
http://www.icsd.aegean.gr/icsd/prosopiko/members.php?category=dep&member=1148

Ομάδα στόχος

Οι φοιτητές του Τμήματος Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων.

Προτεινόμενα συγγράμματα
  • Thomas Απειροστικός Λογισμός, Τόμος Ι, Finney R.L, Weir M.D, Giordano F.R., Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
  • Απειροστικός Λογισμός, M. Spivak, Publish or Perish, Inc.
  • Απειροστικός Λογισμός, Τόμος Ι, Σ. Νεγρεπόντη, Σ. Γιωτόπουλου, Ε. Γιαννακούλια, Εκδόσεις Συμμετρία

Units

Μαθηματική Επαγωγή. Διατυπώνεται η αρχή της μαθηματικής επαγωγής ως μια ισχυρή μέθοδος απόδειξης ποικίλου είδους προτάσεων. Τύπος διωνυμικού αναπτύγματος, υπολογισμός διαφόρων αθροισμάτων και απόδειξη ανισοτήτων. Αρχή πλήρους επαγωγής και εφαρμογές. Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου.

Πληρότητα των πραγματικών αριθμών.  Ορισμός supremum-infimum, αρχή πληρότητας πραγματικών αριθμών, πρόταση ύπαρξης infimum, παραδείγματα, Αρχιμήδειος ιδιότητα πραγματικών αριθμών, ύπαρξη ακεραίου μέρους, Ευκλείδειος αλγόριθμος διαίρεσης, πυκνότητα των ρητών και αρρήτων στους πραγματικούς.

Συναρτήσεις. Ορισμός συνάρτησης και σχετικοί ορισμοί, παραδείγματα, υποσύνολα και συναρτήσεις, ασκήσεις.

Όρια.  Ορισμός ορίου, μοναδικότητα, παραδείγματα, εναλλακτική πρόταση απόδειξης ορίου, όριο αθροίσματος, γινομένου, πηλίκου. Όρια τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Όριο σύνθεσης συναρτήσεων, πλευρικά όρια, όριο στο άπειρο, άπειρο όριο, πλάγιες ασύμπτωτες.

Συνέχεια.  Ορισμός συνέχειας, ασυνέχειας, παραδείγματα. Άθροισμα, γινόμενο συνεχών συναρτήσεων, αντίστροφη συνεχούς συνάρτησης. Σύνθεση συνεχών συναρτήσεων, τοπικό φράξιμο συνεχούς συνάρτησης, διατήρηση προσήμου συνεχούς συνάρτησης.

Θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων.  Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής, εικόνα διαστήματος μέσω συνεχούς συνάρτησης. Ύπαρξη νιοστής ρίζας θετικού αριθμού, ύπαρξη ρίζας πολυωνύμου, φράξιμο συνεχούς συνάρτησης. Θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής, μονοτονία (και συνέχεια αντίστροφης συνάρτησης) μιας συνεχούς και 1-1 συνάρτησης.

Παράγωγος. Ορισμός παραγώγου, παραδείγματα χαρακτηριστικών συναρτήσεων. Άθροισμα, γινόμενο, πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Κανόνας αλυσίδας. Παράγωγος παραμετροποιημένης καμπύλης, παραγώγιση πεπλεγμένης συνάρτησης. Παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης, παράγωγοι αντίστροφων τριγωνομετρικών. Νιοστή παράγωγος, κανόνας νιοστής  παραγώγου γινομένου συναρτήσεων, διαφορικό συνάρτησης.

Εφαρμογές παραγώγων. Ορισμός τοπικού μεγίστου-ελαχίστου, κρίσιμα σημεία. Θεώρημα Rolle, θεώρημα μέσης τιμής, 1ο και 2ο κριτήριο τοπικών ακροτάτων, μελέτη συνάρτησης. Σημεία καμπής, θεώρημα μέσης τιμής Cauchy, κανόνας L’ Hopital. Γραφική επίλυση αυτόνομων διαφορικών εξισώσεων. Μέθοδος Newton-Raphson.

Ολοκλήρωμα Riemann. Ορισμός διαμέρισης, κάτω-άνω ολοκλήρωμα, ορισμός ολοκληρωσιμότητας. Κριτήριο Riemann, παραδείγματα. Προσθετικότητα , γραμμικότητα ολοκληρώματος. Γινόμενο ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, ολοκληρωσιμότητα αντίστροφης συνάρτησης. Ολοκληρωσιμότητα συνεχούς συνάρτησης, ολοκληρωσιμότητα μονότονης συνάρτησης. Θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρώματος, παράγουσα, 1ο και 2ο θεμελιώδες θεώρημα απειροστικού λογισμού.

Υπερβατικές συναρτήσεις-Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Ορισμός λογαριθμικής και εκθετικής συνάρτησης, χαρακτηριστικά όρια, παράγωγοι υπερβολικών συναρτήσεων και αντιστρόφων τους. Γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης. Κανόνες ολοκλήρωσης (αντικατάσταση, ολοκλήρωση κατά παράγοντες, εισαγωγή παραμέτρου, μερικά κλάσματα, τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις). Τύπος Wallis, τύπος Stirling, συνάρτηση Γάμμα.

Γενικευμένα ολοκληρώματα-θεώρημα Taylor. Ορισμός γενικευμένου ολοκληρώματος, παραδείγματα, κριτήριο άμεσης σύγκρισης, οριακό κριτήριο λόγου. Θεώρημα Taylor, παραδείγματα. 

Περιλαμβάνει δείγματα διαλέξεων από φροντιστήριο που αφορά το συγκεκριμένο μάθημα.

Open Academic Course

Open Courses
OpenCourses Level: A+

Num. of Visits :  2966
Num. of Hits :  6395

Calendar