
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{lscape}
\usepackage{setspace}
\usepackage{color}


\usepackage{bm}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[greek, english]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}

\newcommand{\en}{\selectlanguage{english}}
\newcommand{\gr}{\selectlanguage{greek}}
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp}
\numberwithin{equation}{section}

\begin{document}

\gr 

\newtheorem{theorem}{Θεώρημα}
%\newproof{proof}{Απόδειξη: }
\newtheorem{lemma}[theorem]{Λήμμα}
\section{Εκτιμητής Ελαχίστων Τετραγώνων στην απλή γραμμική παλινδρόμηση }

\normalsize


Θεωρoύμε το απλό γραμμικό μοντέλο (απλή γραμμική παλιδρόμηση) :
\begin{eqnarray}   \label{simplereg1}
Y_{i} = \beta_{0}+\beta_{1}x_{i}+\epsilon_{i}, \; i=1,\ldots,n,
\end{eqnarray} 
$Y_{i}$ είναι η απόκριση της $i$-οστής παρατήρησης, $x_{i}$ η τιμή της συμμεταβλητής της $i$-οστής παρατήρησης και $\epsilon_{i}$ είναι το σφάλμα (δηλαδή η απόκλιση της παρατήρησης $Y_{i}$ από την μέση τιμή της, $E(Y_{i}) =\mu_{i} = \beta_{0}+\beta_{1}x_{i}$) . Θεωρούμε τα $x$ ώς σταθερές τιμές κι όχι ως τ.μ.. Για τα σφάλματα υποθέτουμε πως είναι ομοσκεδαστικά ($var( \epsilon_{i}) =\sigma^{2} $) και ασυσχέτιστα ($ cov(\epsilon_{i}, \epsilon_{j})=0$ για $i \ne j$).

\vspace{5mm}

Εναλλακτικά το μοντέλο μπορεί να γραφτεί ώς:
\begin{eqnarray}   \label{simplereg2}
Y_{i} | x_{i}  & \sim & (\mu_{i}, \sigma^{2}) , \; cov(Y_{i} , Y_{j} | x_{i}, x_{j})=0, \; i \ne j \nonumber \\ 
\mu_{i} & = & \beta_{0}+\beta_{1}x_{i}, \; i=1,\ldots,n,
\end{eqnarray} 




\vspace{5mm}

Οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων είναι:
\begin{eqnarray} \label{lsestimators}
\hat{\beta}_{1} & = & \frac{ n \sum{x_{i}y_{i}}-(\sum{x_{i}})(\sum{y_{i}})} { n \sum{x_{i}^{2}} - (\sum{x_{i}})^{2}} \nonumber \\
\hat{\beta}_{0} & = & \bar{y}-\hat{\beta}_{1}  \bar{x} 
\end{eqnarray} 
\underline{Σημείωση:} Από τα παραπάνω προκύπτει πως $\bar{y} = \hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}  \bar{x} $, κι άρα η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων περνάει από το σημείο $(\bar{x},\bar{y}).$

Οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων ελαχιστοποιούν το άθροισμα των τετραγωνικών σφαλμάτων, ήτοι είναι οι λύσεις του μαθηματικού προβλήματος
\begin{eqnarray} \label{minimize}
\min_{\beta_{0},\beta_{1}}\sum{\epsilon_{i}^{2}(\beta_{0},\beta_{1})}  \Leftrightarrow \min_{\beta_{0},\beta_{1}} \sum{(y_{i}-\beta_{0}-\beta_{1}x_{i})^{2}} 
\end{eqnarray} 
Παραγωγίζοντας καταλήγουμε πως οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων προκύπτουν ως λύσεις των εκτιμητικών εξισώσεων
\begin{eqnarray} \label{estimeq}
\sum{\epsilon_{i}(\beta_{0},\beta_{1})} & = & \sum{y_{i}-\beta_{0}-\beta_{1}x_{i}}=0  \nonumber \\
\sum{x_{i}\epsilon_{i}(\beta_{0},\beta_{1})} & = & \sum{x_{i}(y_{i}-\beta_{0}-\beta_{1}x_{i})}=0 
\end{eqnarray} 
Οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων μπορούν να εκφραστούν ως γραμμικοί συνδυασμοί των $Y$:
\begin{eqnarray} \label{lsestmath}
\hat{\beta}_{1} & = & \sum{c_{i}Y_{i}}, \; \mbox{με  } c_{i} = \frac{x_{i}-\bar{x}}{S_{xx}} \nonumber \\
\hat{\beta}_{0} & = & \sum{d_{i}Y_{i}}, \; \mbox{με  } d_{i} = \frac{1}{n} - \frac{(x_{i}-\bar{x})\bar{x}}{S_{xx}},
\end{eqnarray} 
όπου 
\begin{eqnarray*}
S_{xx}=\sum{(x_{i}-\bar{x})^{2}}
\end{eqnarray*} 

\vspace{10mm}
\noindent Για τους συντελεστες $c_{i}, d_{i}$ ισχύουν τα παρακάτω: 
\begin{eqnarray} \label{cdprop}
\sum{c_{i}}=0, \; \; \sum{c_{i}^{2}}=\frac{1}{S_{xx}}, \; \; \sum{c_{i}x_{i}}=1 \nonumber \\
\sum{d_{i}}=1, \; \; \sum{d_{i}^{2}}=\frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^{2}}{S_{xx}}, \; \; \sum{d_{i}x_{i}}=0 \nonumber \\
\sum{c_{i}d_{i}}=-\frac{\bar{x}}{S_{xx}}
\end{eqnarray}

Χρησιμοποιώντας τo γεγονός πως
\begin{eqnarray} \label{covidentity}
E(\sum{\alpha_{r}Y_{r}}) & = & \sum{\alpha_{r}E(Y_{r})} \nonumber \\
Cov( \sum{\alpha_{r}Y_{r}}, \sum{\gamma_{r}Y_{r}}) & = &\sigma^{2} \sum{\alpha_{r}\gamma_{r}}
\end{eqnarray}
μπορούμε να αποδείξουμε πως
\begin{eqnarray} \label{estmoments}
E(\hat{\beta}_{0})=\beta_{0},  \; \;  Var(\hat{\beta}_{0})=\sigma^{2}  [ \frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^{2}}{S_{xx}} ]  \nonumber \\
E(\hat{\beta}_{1})=\beta_{1},  \; \;  Var(\hat{\beta}_{1})=\sigma^{2} \frac{1}{S_{xx}} \nonumber \\
Cov(\hat{\beta}_{0},\hat{\beta}_{1}) = -\sigma^{2} \frac{\bar{x}}{S_{xx}}.
\end{eqnarray}

Οι προσαρμοσμένες τιμές {\en(fits)} και τα υπόλοιπα ή κατάλοιπα { \en(residuals)}  ισούνται με 
\begin{eqnarray} \label{fitresid1}
 \hat{Y}_{i}  & = & \hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}x_{i} \nonumber \\
 \hat{\epsilon}_{i}  & = & {Y}_{i} - \hat{Y}_{i}.  
\end{eqnarray}
H προσαρμοσμένη τιμή $\hat{Y}_{i} $ είναι απλά η εκτίμηση της μέσης τιμής $\mu_{i}= \beta_{0}+\beta_{1}x_{i}.$ Σύγχρόνως είναι και πρόβλεψη της τιμής της απόκρισης $Y$ για μια νέα παρατήρηση με τιμή της συμμεταβλητής ίση με $x_{i}$. Καθοτι η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων περνάει από το σημείο $(\bar{x},\bar{y}),$ ισχύει πως $\sum{\hat{Y}_{i} }=\sum{{Y}_{i} }.$ Επίσης από τις εκτιμητικές εξισώσεις  (\ref{estimeq}) προκύπτει πως $\sum{\hat{\epsilon}_{i}}=0$ και $\sum{x_{i}\hat{\epsilon}_{i}}=0$


 Οι προσαρμοσμένες τιμές και τα υπόλοιπα είναι γραμμικοί συνδυασμοί των παρατηρήσεων $Y_{1}, \ldots, Y_{n}$: 
\begin{eqnarray} \label{fitresid2}
 \hat{Y}_{i}  & = & \hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}x_{i}  = \sum_{j=1}^{n}{ (d_{j}+x_{i} c_{j}) Y_{j} } \nonumber \\
 \hat{\epsilon}_{i}  & = & {Y}_{i} - \hat{Y}_{i} = \sum_{j=1}^{n}{[\delta_{[j=i]} - (d_{j}+x_{i} c_{j})] Y_{j} } ,  
\end{eqnarray}
όπου $\delta_{[j=i]}=1$ όταν $j=i$ και ισούται με $0$ όταν $j \ne i.$

Χρησιμοποιώντας  τα αποτελέσματα στις εξισώσεις (\ref{covidentity}) μπορούμε να δείξουμε πώς
\begin{eqnarray} \label{fitresidproperties}
E (\hat{Y}_{i})   =  \mu_{i} = {\beta}_{0}+{\beta}_{1}x_{i} & , & var(\hat{Y}_{i}) = \sigma^{2} (\frac{1}{n}+\frac{(x_{i}-\bar{x})^{2}}{S_{xx}} )   \nonumber \\
E (\hat{\epsilon}_{i})   =  0  & , & var(\hat{\epsilon}_{i}) = \sigma^{2} (1-\frac{1}{n}-\frac{(x_{i}-\bar{x})^{2}}{S_{xx}} ) \nonumber \\
cov(\hat{\epsilon}_{i}, \hat{\epsilon}_{j})=- \sigma^{2}( \frac{1}{n} + \frac{(x_{i}-\bar{x})(x_{j}-\bar{x})} {S_{xx}}) & , &  cov(\hat{\epsilon}_{i}, \hat{\beta}_{0})= 0 \nonumber \\
cov(\hat{\epsilon}_{i}, \hat{\beta}_{1})= 0 & , &  cov(\hat{\epsilon}_{i}, \hat{Y}_{j})= 0 \; \forall i,j  \nonumber \\
cov(\hat{\epsilon}_{i}, \bar{Y})= 0 & , &  cov(\hat{\beta}_{i}, \bar{Y})= 0 
\end{eqnarray}


Μια απερόληπτη εκτίμηση της διασποράς των σφαλμάτων δίνεται από την

 $s^{2}=\frac{\sum{\hat{\epsilon}_{i}^{2}}} {n-2} = \frac{\sum{(Y_{i}-\hat{Y}_{i})^{2}}}{n-2}. $ Δηλαδή, ισχύει πως 
\begin{eqnarray}
E(s^{2})=E(\frac{\sum{\hat{\epsilon}_{i}^{2}}} {n-2}) =E(\frac{\sum{(Y_{i}-\hat{Y}_{i})^{2}}}{n-2}) = \sigma^{2}.
\end{eqnarray}


\section{ Κανονική Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση }

\normalsize

Το κανονικό απλό γραμμικό μοντέλο γράφεται ως 
\begin{eqnarray}   \label{nsimplereg1}
Y_{i} & = & \beta_{0}+\beta_{1}x_{i}+\epsilon_{i}, \; i=1,\ldots,n, \nonumber \\
\epsilon_{1}, \epsilon_{2}  ,\ldots, \epsilon_{n} & \sim^{iid} & N(0, \sigma^{2}),
\end{eqnarray} 
ή εναλλακτικά 
\begin{eqnarray}   \label{nsimplereg2}
Y_{i} | x_{i}  & \sim^{ind}& N(\mu_{i}, \sigma^{2}) , \;  i=1,\ldots,n, \nonumber \\ 
\mu_{i} & = & \beta_{0}+\beta_{1}x_{i}
\end{eqnarray} 

Η υπόθεση κανονικότητας μαζι με τα αποτελέσματα στο προηγούμενο κεφάλαιο συνεπάγονται τα εξής: 

\begin{eqnarray} \label{normality}
\hat{\bm{\beta}} \sim MVN(\bm{\beta} , \Sigma)  & , & \nonumber \\
\hat{{\beta}}_{0} \sim N(\beta_{0}, \sigma^{2}  [ \frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^{2}}{S_{xx}} ]) & , & \hat{{\beta}}_{1} \sim N(\beta_{1}, \sigma^{2} \frac{1}{S_{xx}}), 
\end{eqnarray}
όπου η 1η πρόταση παραπάνω απλά αναφέρει πως το  $2 \times 1$ διάνυσμα των εκτιμητριών
\[
\bm{\hat{\beta}}=
  \begin{bmatrix}
    \hat{\beta}_{0} \\
    \hat{\beta}_{1} \\
  \end{bmatrix}
\] ακολουθεί πολυμεταβλητή κανονική κατανομή με μέση τιμή \[
\bm{\beta}=
  \begin{bmatrix}
    {\beta}_{0} \\
    {\beta}_{1} 
  \end{bmatrix}
\] και πίνακα διακυμάνσεων-συνδιακυμάνσεων $\bm{\Sigma}, $ όπου
\[ \bm{\Sigma}=
\begin{bmatrix}
var(\hat{\beta}_{0}) & cov(\hat{\beta}_{0}, \hat{\beta}_{1}) \\
cov(\hat{\beta}_{0}, \hat{\beta}_{1}) & var(\hat{\beta}_{1}) 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sigma_{\hat{\beta}_{0}}^{2} & \sigma_{\hat{\beta}_{0}, \hat{\beta}_{1} } \\
\sigma_{\hat{\beta}_{0}, \hat{\beta}_{1} } & \sigma_{\hat{\beta}_{1}}^{2}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\sigma^{2}  [ \frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^{2}}{S_{xx}} ]   &     -\sigma^{2} \frac{\bar{x}}{S_{xx}}  \\
 -\sigma^{2} \frac{\bar{x}}{S_{xx}}   &  \sigma^{2} \frac{1}{S_{xx}} 
 \end{bmatrix}
\] 
Μία άμεση συνέπεια του αποτελέσματος στην (\ref{normality}) είναι πως κάθε γραμμικός συνδυασμός των εκτιμητριών $ \hat{\beta}_{0}$ και $ \hat{\beta}_{1}$ ακολουθούν κανονική κατανομή. Συγκεκριμένα, έστω $l_{1}$, $l_{2}$ πραγματικοί αριθμοί (όχι και τα 2 ίσα μηδέν). Τότε 
\begin{eqnarray} \label{lincomb}
l_{1}\hat{\beta}_{0}+l_{2}\hat{\beta}_{1} \sim N( l_{1}{\beta}_{0}+l_{2}{\beta}_{1}, l_{1}^{2}\sigma_{\hat{\beta}_{0}}^{2} + l_{2}^{2}\sigma_{\hat{\beta}_{1}}^{2} +2l_{1}l_{2}\sigma_{\hat{\beta}_{0}, \hat{\beta}_{1} }),
\end{eqnarray}
από όπου προκύπτει πως 
\begin{eqnarray} \label{lincombstandard}
\frac{l_{1}\hat{\beta}_{0}+l_{2}\hat{\beta}_{1}-( l_{1}{\beta}_{0}+l_{2}{\beta}_{1})}{ \sigma \sqrt{l_{1}^{2}[ \frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^{2}}{S_{xx}} ] +l_{2}^{2}\frac{1}{S_{xx}} -2l_{1}l_{2}\frac{\bar{x}}{S_{xx}} }} \sim N(0,1).
\end{eqnarray}
Από τα αποτελέσματα στη ( \ref{fitresidproperties}) σε συνδυασμό με την υπόθεση κανονικότητας προκύπτει πως τα υπόλοιπα, $\hat{\epsilon}_{i}$ , είναι στατιστικά ανεξάρτητα των εκτιμητριών, $\hat{\beta}_{0}$ και $\hat{\beta}_{1}.$  Άρα τα υπόλοιπα, $\hat{\epsilon}_{i},$ είναι ανεξάρτητα και του γραμμικού συνδυασμού $l_{1}\hat{\beta}_{0}+l_{2}\hat{\beta}_{1}$. Τέλος, καθότι  $s^{2}=\frac{\sum{\hat{\epsilon}_{i}^{2}}} {n-2}$ είναι συνάρτηση των υπολοίπων, $\hat{\epsilon}_{i},$ έχουμε πως $l_{1}\hat{\beta}_{0}+l_{2}\hat{\beta}_{1}$ και $s^{2}$ είναι στατιστικά ανεξάρτητα. 

Αργότερα θα δείξουμε πως, κάτω από την υπόθεση κανονικότητας των σφαλμάτων, έχουμε πως 
\begin{eqnarray}\label{varchisq}
(n-2)\frac{s^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi_{n-2}^{2}.
\end{eqnarray}

Από τα αποτελέσματα στις ( \ref{lincombstandard}) και (\ref{varchisq}) έχουμε 
\begin{eqnarray} \label{tstatistic}
\frac{  \frac{l_{1}\hat{\beta}_{0}+l_{2}\hat{\beta}_{1}-( l_{1}{\beta}_{0}+l_{2}{\beta}_{1})}{ \sigma \sqrt{l_{1}^{2}[ \frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^{2}}{S_{xx}} ] +l_{2}^{2}\frac{1}{S_{xx}} -2l_{1}l_{2}\frac{\bar{x}}{S_{xx}} }}    }  { \sqrt{ (n-2)\frac{s^{2}}{\sigma^{2}} / (n-2)}   } \nonumber \\
 = \frac{l_{1}\hat{\beta}_{0}+l_{2}\hat{\beta}_{1}-( l_{1}{\beta}_{0}+l_{2}{\beta}_{1})}{ s \sqrt{l_{1}^{2}[ \frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^{2}}{S_{xx}} ] +l_{2}^{2}\frac{1}{S_{xx}} -2l_{1}l_{2}\frac{\bar{x}}{S_{xx}} }} \sim t_{n-2}.
\end{eqnarray}


\subsection{Συμπερασματολογία για παραμέτρους, Διάστημα εμπιστοσύνης, Διάστημα Πρόβλεψης}

Βάσει του αποτελέσματος στην (\ref{tstatistic}) ένα $100(1-α)$\% διάστημα εμπιστοσύνης για τον γραμμικό συνδυασμό $ l_{1}{\beta}_{0}+l_{2}{\beta}_{1}$ δίνεται από:
\begin{eqnarray*}
l_{1}\hat{\beta}_{0}+l_{2}\hat{\beta}_{1} \pm t_{n-2; \frac{\alpha}{2}} s \sqrt{l_{1}^{2}[ \frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^{2}}{S_{xx}} ] +l_{2}^{2}\frac{1}{S_{xx}} -2l_{1}l_{2}\frac{\bar{x}}{S_{xx}} },
\end{eqnarray*}
όπου $t_{n-2; \alpha/2}$ είναι τό \underline{άνω} $\alpha / 2$ ποσοστιαίο σημείο της $t_{n-2}$ κατανομής.

Επίσης ο έλεγχος της μηδενικής υπόθεσης $H_{o}: \; l_{1}{\beta}_{0}+l_{2}{\beta}_{1}=r$ έναντι της δίπλευρης εναλλακτικής  $H_{a}: \; l_{1}{\beta}_{0}+l_{2}{\beta}_{1} \ne r$, σε επίπεδο σημαντικότητας $\alpha$ απορρίπτει την μηδενική όταν 
\begin{eqnarray*}
\frac{|l_{1}\hat{\beta}_{0}+l_{2}\hat{\beta}_{1}-r|} { s \sqrt{l_{1}^{2}[ \frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^{2}}{S_{xx}} ] +l_{2}^{2}\frac{1}{S_{xx}} -2l_{1}l_{2}\frac{\bar{x}}{S_{xx}} }} >  t_{n-2; \frac{\alpha}{2}} .
\end{eqnarray*}

Ειδικές περιπτώσεις ενδιαφέροντος:  

\vspace{5mm}
1) Για την κλίση της ευθείας παλινδρόμησης παίρνουμε $l_{1}=0$ και $l_{2}=1.$ Ειδικά, για να ελέγξουμε τη στατιστική σημαντικότητα της παλινδρόμησης κάνουμε τον έλεγχο $H_{0}: {\beta}_{1}=0$ έναντι της δίπλευρης εναλλακτικής. Η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται όταν 
\begin{eqnarray} \label{tsigntest}
\frac{|\hat{\beta}_{1}|} { s \sqrt{\frac{1}{S_{xx}}} } >  t_{n-2; \frac{\alpha}{2}} .
\end{eqnarray}


\vspace{10mm}
2) Για την μέση τιμή της απόκρισης σε καθορισμένη τιμή της συμμεταβλητής $x_{0}$, δηλαδή για την $\mu_{0}=\beta_{0}+\beta_{1}x_{0}$, παίρνουμε $l_{1}=1$ και $l_{2}=x_{0}.$ Έτσι για παράδειγμα, ένα 95\% \underline{Διάστημα Εμπιστοσύνης  για την μέση τιμή} $\mu_{0}=\beta_{0}+\beta_{1}x_{0}$ δίνεται από 
\begin{eqnarray*}
\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1} x_{0} & \pm & t_{n-2; 0.025} s \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x_{0}-\bar{x})^{2}}{S{xx}}   } \ \\
\hat{Y}_{0} & \pm &  t_{n-2; 0.025} s \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x_{0}-\bar{x})^{2}}{S{xx}}   }
\end{eqnarray*}


\underline {Διάστημα Πρόβλεψης μιας καινούργιας τιμής} της απόκρισης για συγκεκριμένη τιμή, $x_0,$ της συμμεταβλητής. 

Έστω πως θέλουμε να προβλέψουμε μια νέα τιμη $Y_0$ δοθέντος συγκεκριμένης τιμης της συμμεταβλητής, $x_0.$ Π.χ. έστω πως θέλουμε να προβλεψουμε την τιμή της {\en FEV} γιά ένα παιδί με ύψος 65 ίντσες (εννοείται πως δεν αναφερόμαστε σε παιδί που ήδη παρατηρήσαμε την τιμή του, υπάρχει δηλαδή η παρατήρησή του στην βάση δεδομένων). Θέλουμε δηλαδή να προβλέψουμε την τυχαία μεταβλητή $Y_{0}=\beta_{0}+\beta_{1}x_{0}+\epsilon_{0}.$ Μπορεί να αποδειχθεί πως η βέλτιστη γραμμική πρόβλεψη της $Y_{0}$ (με κριτήριο το μέσο τετραγωνικό σφάλμα πρόβλεψης) είναι η $\hat{Y}_{0}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1} x_{0}$. Η πρόβλεψη $\hat{Y}_{0}$ είναι προφανώς ανεξάρτητη της τ.μ. που θέλουμε που θέλουμε να προβλέψουμε, $Y_{0}$ (γιατί?). Παρατηρούμε πως η πρόβλεψη της  $Y_{0}$  είναι ίδια με την αμερόληπτη εκτίμηση της μέσης τιμής  $\mu_{0}=\beta_{0}+\beta_{1}x_{0}.$

Για το σφάλμα της της πρόβλεψης $Y_{0}-\hat{Y}_{0}$ ισχύουν 
\begin{eqnarray} \label{predictionmom}
Ε(Y_{0}-\hat{Y}_{0}) & = & 0 \nonumber \\
Var(Y_{0}-\hat{Y}_{0}) & = & Var(Y_{0})+Var(\hat{Y}_{0}) = \sigma^{2}(1+\frac{1}{n} + \frac{(x_{0}-\bar{x})^{2}}{S{xx}})
\end{eqnarray}
που μαζί με την υπόθεση κανονικότητας μας δίνει 
\begin{eqnarray} \label{normpred}
\frac{Y_{0}-\hat{Y}_{0} } {\sigma  \sqrt{1+\frac{1}{n} + \frac{(x_{0}-\bar{x})^{2}}{S{xx}}}} \sim N(0,1).
\end{eqnarray}
Ισχύει πως $Y_{0}-\hat{Y}_{0}$ και $s^{2}$ είναι ανεξάρτητα (καθώς $Y_{0}, \hat{\beta}_{0}, \hat{\beta}_{1}$ είναι ανεξάρτητα της $s^{2}$). Άρα, το αποτέλεσμα στην (\ref{normpred})  σε συνδυασμό με το αποτέλεσμα στην (\ref{varchisq} ) μας δίνει 
\begin{eqnarray} \label{tpred}
\frac{Y_{0}-\hat{Y}_{0} } {s  \sqrt{1+\frac{1}{n} + \frac{(x_{0}-\bar{x})^{2}}{S{xx}}}} \sim t_{n-2} ,
\end{eqnarray}
από όπου προκύπτει πως ισχύει ότι
\begin{eqnarray*}
P(\hat{Y}_{0}- t_{n-2; \frac{\alpha}{2}} s\sqrt{1+\frac{1}{n} + \frac{(x_{0}-\bar{x})^{2}}{S{xx}}} < {Y}_{0} < \hat{Y}_{0}+ t_{n-2; \frac{\alpha}{2}} s\sqrt{1+\frac{1}{n} + \frac{(x_{0}-\bar{x})^{2}}{S{xx}}})=1-\alpha.
\end{eqnarray*}

Το διάστημα 
\begin{eqnarray*}
\hat{Y}_{0} & \pm &  t_{n-2; \frac{\alpha}{2}} s \sqrt{1+\frac{1}{n} + \frac{(x_{0}-\bar{x})^{2}}{S{xx}}   }
\end{eqnarray*}
λέγεται ένα $100(1-\alpha)$\% Διάστημα Πρόβλεψης της $Y_0.$


\subsection{ Διάσπαση $\chi^{2}$, {\en ANOVA}}  

\begin{lemma}
Έστω $U=U_{1}+U_{2}.$ Άν $U \sim \chi_{k}^{2}$, $U_{1} \sim \chi_{l}^{2}$, με $k>l$ και $U_{1}$ είναι ανεξάρτητη της $U_{2},$ τότε $U_{2} \sim \chi_{k-l}^{2}$
\end{lemma}
\begin{proof}
Για της ροπογεννήτριες των τ.μ. ισχύει, λόγω ανεξαρτησίας των $U_{1}$ και $U_{2}$
\begin{eqnarray*}
M_{U} (t) =M_{U_{1}} (t) M_{U_{2}} (t)
\end{eqnarray*}
Η ροπογεννήτρια μιας τ.μ. με $\chi_{\nu}^{2}$ κατανομή ισούται με 
\begin{eqnarray*}
M(t) =\frac{1}{ (1-2t)^{\nu/2}}, \; t,1/2
\end{eqnarray*}
και συνεπώς ισχύει 
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{ (1-2t)^{k/2}}=\frac{1}{ (1-2t)^{l/2}} (t) M_{U_{2}} (t),
\end{eqnarray*}
κι άρα 
\begin{eqnarray*}
M_{U_{2}} (t)=\frac{1}{ (1-2t)^{(k-l)/2}} (t) .
\end{eqnarray*}
Καθώς η ροπογεννήτρια (όταν υπάρχει)  καθορίζει την κατανομή, συμπεραίνουμε πως  $U_{2} \sim \chi_{k-l}^{2}.$
\end{proof}
\begin{theorem}
Σε μιά απλή γραμμική παλινδρόμηση με ομοσκεδαστικά και ασυσχέτιστα σφάλματα που ακολουθούν κανονική κατανομή ισχύουν:
\begin{eqnarray*}
(n-2)\frac{s^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi_{n-2}^{2} & \Leftrightarrow & \frac{SSE}{\sigma^{2}} \sim \chi_{n-2}^{2}    \\
\frac{\hat{\beta}_{1}^{2}S_{XX}}{\sigma^{2}} \sim^{H_{0}} \chi_{1 }^{2}  & \Leftrightarrow & \frac{SSR}{\sigma^{2}} \sim^{H_{0}} \chi_{1}^{2}  \\
SSE \indep SSR,
\end{eqnarray*} 
όπου $H_{0}: \beta_{1}=0$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Γράφουμε 
\begin{eqnarray}\label{proofchi1}
\epsilon_{i} & = & \hat{\epsilon}_{i}+(\epsilon_{i}-\hat{\epsilon}_{i}) \nonumber \\
& = & \hat{\epsilon}_{i} + (Y_{i}-\beta_{0}-\beta_{1}x_{i} -Y_{i}+\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}x_{i}) \nonumber \\
& = & \hat{\epsilon}_{i} +(\hat{\beta}_{0}-{\beta}_{0})+(\hat{\beta}_{1}-{\beta}_{1})x_{i}. 
\end{eqnarray}
Γνωρίζουμε πως
\begin{eqnarray}\label{proofchi1}
\bar{Y} & = & \beta_{0}+\beta_{1}\bar{x} +\bar{\epsilon} \nonumber \\
\bar{Y} & = & \hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}\bar{x} \nonumber \\
 & \implies & (\hat{\beta}_{0}-\beta_{0})=-(\hat{\beta}_{1}-\beta_{1})\bar{x}-\bar{\epsilon}.
\end{eqnarray}
Από τις (\ref{proofchi1}) και (\ref{proofchi2}) προκύπτει
\begin{eqnarray}\label{proofchi3}
\epsilon_{i} & = & \hat{\epsilon}_{i}+(\hat{\beta}_{1}-\beta_{1})(x_{i}-\bar{x}) - \bar{\epsilon} \implies \nonumber \\
\epsilon_{i} ^{2}  & = & \hat{\epsilon}_{i}^{2}+(\hat{\beta}_{1}-\beta_{1})^{2}(x_{i}-\bar{x})^{2} + \bar{\epsilon} ^{2} \nonumber \\
& + & 2(\hat{\epsilon}_{i}(\hat{\beta}_{1}-\beta_{1})(x_{i}-\bar{x}) - \hat{\epsilon}_{i}\bar{\epsilon}-(\hat{\beta}_{1}-\beta_{1})(x_{i}-\bar{x})\bar{\epsilon})
\end{eqnarray}. 
 Από τις εκτιμητικές εξισώσεις στη (\ref{estimeq}) έχουμε πως 
\begin{eqnarray} \label{proofchi4}
\sum{\hat{\epsilon}_{i}} & =  & 0  \nonumber \\
\sum{x_{i}\hat{\epsilon}_{i}} & = & 0 \nonumber \\ 
 \implies    \sum({x_{i}-\bar{x})\hat{\epsilon}_{i}}  & = & 0 
\end{eqnarray} 
Από τις ( \ref{proofchi3}) και ( \ref{proofchi4}) παίρνουμε
\begin{eqnarray}\label{proofchi5}
\sum{\epsilon_{i} ^{2}}  & = &  \sum{\hat{\epsilon}_{i}^{2}}+(\hat{\beta}_{1}-\beta_{1})^{2}\sum{(x_{i}-\bar{x})^{2}} + n\bar{\epsilon} ^{2}  \implies \nonumber \\
\frac{\sum{\epsilon_{i} ^{2}}}{\sigma^2}  & = &  \frac{\sum{\hat{\epsilon}_{i}^{2}}}{\sigma^2}+\frac{(\hat{\beta}_{1}-\beta_{1})^{2}S_{xx}}{\sigma^2} + \frac{n\bar{\epsilon} ^{2}}{\sigma^2} 
\end{eqnarray}. 
Καθότι τα $\epsilon_{i}$ είναι ένα τυχαίο δείγμα από την $Ν(0,\sigma^{2})$ κατανομή έχουμε
\begin{eqnarray}\label{proofchi6}
\frac{1}{\sigma^{2}}\sum{\epsilon_{i} ^{2}}  & \sim & \chi_{n}^{2} \nonumber \\
  \bar{\epsilon}  & \sim & N(0, \frac{\sigma^{2}}{n}) \implies \frac{1}{\sigma^{2}}n\bar{\epsilon} ^{2} \sim \chi_{1}^{2} .
\end{eqnarray}. 
Από την (\ref{normality}) έχουμε 
\begin{eqnarray}\label{proofchi7}
 \hat{{\beta}}_{1} \sim N(\beta_{1}, \sigma^{2} \frac{1}{S_{xx}}) \implies \frac{(\hat{\beta}_{1}-\beta_{1})^{2}S_{xx}}{\sigma^2} \sim \chi_{1}^{2}.
\end{eqnarray}
Τα αποτελέσματα στη (\ref{fitresidproperties}) μαζί με την υπόθεση κανονικότητας συνεπάγονται πως

Α)  $\frac{\sum{\hat{\epsilon}_{i}^{2}}}{\sigma^2} \indep \frac{(\hat{\beta}_{1}-\beta_{1})^{2}S_{xx}}{\sigma^2}$

Β) $\frac{\sum{\hat{\epsilon}_{i}^{2}}}{\sigma^2} \indep   \frac{n\bar{\epsilon} ^{2}}{\sigma^2}$ (καθότι $\bar{\epsilon}=\bar{Y}-\beta_{0}-\beta_{1}\bar{x}$)

Γ) $\frac{(\hat{\beta}_{1}-\beta_{1})^{2}S_{xx}}{\sigma^2} \indep \frac{n\bar{\epsilon} ^{2}}{\sigma^2}$ .

Από τις τρεις παραπάνω προτάσεις προκύπτει πως $\frac{(\hat{\beta}_{1}-\beta_{1})^{2}S_{xx}}{\sigma^2} + \frac{n\bar{\epsilon} ^{2}}{\sigma^2}  \sim \chi_{2}^{2}$ και χρησιμοποιώντας το Λήμμα παραπάνω παίρνουμε το πρώτο αποτέλεσμα του θεωρήματος. Το δεύτερο αποτέλεσμα προκύπτει από την (\ref{proofchi7}) και το γεγονός πως η μηδενική υπόθεση λέει πως $\beta_{1}=0.$ 
\end{proof}
Από το παραπάνω αποτέλεσμα προκύπτει ο $F$ έλεγχος της στατιστικής σημαντικότητας της παλινδρόμησης, δηλαδή της $H_{0}: \beta_{1}=0$ έναντι της δίπλευρης εναλλακτικής. Καθότι $\frac{SSR}{\sigma^{2}} \sim^{H_{0}} \chi_{1}^{2}$ , $\frac{SSE}{\sigma^{2}} \sim \chi_{n-2}^{2}$, και $SSR \indep SSE$ έχουμε πως
\begin{eqnarray}  \label{Ftest}
\frac{MSR}{MSE}=\frac{SSR/1}{SSE/n-2} \sim^{H_{0}} F_{1, n-2},
\end{eqnarray}
 με αποτέλεσμα η $H_{0}: \beta_{1}=0$  να απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας $\alpha$ όταν η παρατηρηθείσα τιμή της σ.σ.ε. $F=\frac{MSR}{MSE}>F_{1, n-2; \alpha}.$ Μπορεί να δειχθεί πως ο παραπάνω έλεγχος είναι ισοδύναμος του ελέγχου στην (\ref{tsigntest}).


\section{ Πολλαπλή Γραμμική Παλινδρόμηση }

Θεωρoύμε το πολλαπλό γραμμικό μοντέλο (πολλαπλή γραμμική παλιδρόμηση) με $p-1$ συμμεταβλητές :
\begin{eqnarray}   \label{multreg1}
Y_{i} = \beta_{0}+\beta_{1}x_{i1}+\beta_{2}x_{i2}+\ldots+\beta_{p-1}x_{i,p-1}+\epsilon_{i}, \; i=1,\ldots,n,
\end{eqnarray} 
$Y_{i}$ είναι η απόκριση της $i$-οστής παρατήρησης, $x_{i,k}$ η τιμή της $k$ συμμεταβλητής της $i$-οστής παρατήρησης και $\epsilon_{i}$ είναι το σφάλμα (δηλαδή η απόκλιση της παρατήρησης $Y_{i}$ από την μέση τιμή της . Θεωρούμε τα $x$ ώς σταθερές τιμές κι όχι ως τ.μ.. Για τα σφάλματα υποθέτουμε πως είναι ομοσκεδαστικά ($var( \epsilon_{i}) =\sigma^{2} $) και ασυσχέτιστα ($ cov(\epsilon_{i}, \epsilon_{j})=0$ για $i \ne j$).

\vspace{5mm}

Εναλλακτικά το μοντέλο μπορεί να γραφτεί ώς:
\begin{eqnarray}   \label{multreg2}
Y_{i} | x_{i1},x_{i2}, \ldots, x_{i,p-1}  & \sim & (\mu_{i}, \sigma^{2}) , \; cov(Y_{i} , Y_{j} | x_{i1},x_{i2}, \ldots, x_{i,p-1}, x_{j1},x_{j2}, \ldots, x_{j,p-1})=0, \; i \ne j \nonumber \\ 
\mu_{i} & = &  \beta_{0}+\beta_{1}x_{i1}+\beta_{2}x_{i2}+\ldots+\beta_{p-1}x_{i,p-1}, \; i=1,\ldots,n,
\end{eqnarray} 

Μπορούμε να γράψουμε το μοντέλο με χρήση πινάκων και διανυσμάτων, ορίζοντας 
\[
\bm{Y}=
  \begin{bmatrix}
    Y_{1} \\
    Y_{2}\\
\vdots \\
 Y_{n}
  \end{bmatrix}
, \bm{X}=  \begin{bmatrix}
1 & x_{11} & x_{12} & \ldots & x_{1,p-1} \\
1 & x_{21} & x_{22} & \ldots & x_{2,p-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
1 & x_{n1} & x_{n2} & \ldots & x_{n,p-1}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\bm{x}_{1}^{T} \\
\bm{x}_{2}^{T} \\
\vdots  \\
\bm{x}_{n}^{T}
\end{bmatrix}, \bm{\beta}= \begin{bmatrix}
    \beta_{0} \\
    \beta_{1}\\
 \beta_{2} \\
\vdots \\
 \beta_{p-1}
  \end{bmatrix}, \bm{\epsilon}=
  \begin{bmatrix}
    \epsilon_{1} \\
    \epsilon_{2}\\
\vdots \\
 \epsilon_{n}
  \end{bmatrix}\]
Στις παραπάνω εκφράσεις το δίανυσμα 
\[
\bm{x}_{i}=
  \begin{bmatrix}
1 \\
    x_{i1} \\
    x_{i2}\\
\vdots \\
 x_{i,p-1}
  \end{bmatrix}\] είναι το διάνυσμα με τις τιμές των συμμεταβλητών για την $i$ παρατήρηση.

\noindent Το μοντέλο για την $i$ απόκριση γράφεται ως
\begin{eqnarray}   \label{multreg3}
Y_{i} = \bm{x}_{i}^{T}\bm{\beta}+\epsilon_{i}, \; i=1,\ldots,n,
\end{eqnarray} 

ή εναλλακτικά 
\begin{eqnarray}   \label{multreg4}
Y_{i} | \bm{x}_{i} & \sim & (\mu_{i}, \sigma^{2}) , \; cov(Y_{i} , Y_{j} | \bm{x}_{i}, \bm{x}_{j})=0, \; i \ne j \nonumber \\ 
\mu_{i} & = &  \bm{x}_{i}^{T} \bm{\beta}, \; i=1,\ldots,n.
\end{eqnarray} 

Το μοντέλο για όλες τις παρατηρήσεις γράφεται ως
\begin{eqnarray}   \label{multreg5}
\bm{Y}  & = & \bm{X}\bm{\beta}+\bm{\epsilon} \nonumber \\
\bm{\epsilon} & \sim  & (\bm{0}_{n}, \sigma^{2}\bm{I}_{n}),
\end{eqnarray}
όπου για τoν $n \times p$ πίνακα συμμεταβλητών $\bm{X}$ ισχύει $rank(X)=p,$ $\bm{0}_{n}=E(\bm{\epsilon})$ είναι ένα $n \times 1$ διάνυσμα με μηδενικά, $\bm{I}_{n}$ είναι ένας $n \times n$ ταυτοτικός πίνακας με μοναδες στην διαγώνιο και μηδενικά εκτος διαγωνίου.  Καθότι υποθέτουμε ασυσχέτιστα και ομοσκεδαστικά σφάλματα ισχύει 
 \[  
Var(\bm{\epsilon}) = 
\begin{bmatrix}
var(\epsilon_{1})                        &  cov(\epsilon_{1},\epsilon_{2}) & \ldots & cov(\epsilon_{1},\epsilon_{n-1}) & cov(\epsilon_{1},\epsilon_{n}) \\
cov(\epsilon_{2},\epsilon_{1})  &  var(\epsilon_{2})  & \ldots   & cov(\epsilon_{2},\epsilon_{n-1}) & cov(\epsilon_{2},\epsilon_{n}) \\
\vdots & \vdots & \ldots & \vdots & \vdots \\
cov(\epsilon_{n-1},\epsilon_{1}) & cov(\epsilon_{n-1},\epsilon_{2})  & \ldots & var(\epsilon_{n-1}) & cov(\epsilon_{n-1},\epsilon_{n})  \\
cov(\epsilon_{n},\epsilon_{1}) & cov(\epsilon_{n},\epsilon_{2})  & \ldots & cov(\epsilon_{n},\epsilon_{n-1})  & var(\epsilon_{n}) 
\end{bmatrix} =   \sigma^{2}\bm{I}_{n}. 
\]

Ο εκτιμητής ελαχίστων τετραγώνων του διανύσματος συντελεστών  $\bm{\beta}$ ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγωνικών σφαλμάτων, ήτοι είναι οι λύσεις του μαθηματικού προβλήματος
\begin{eqnarray} \label{multminimize}
\min_{\bm{\beta}}\sum{\epsilon_{i}^{2}(\bm{\beta})}  \Leftrightarrow \min_{\bm{\beta}} \bm{\epsilon}^{T}(\bm{\beta}) \bm{\epsilon}(\bm{\beta})  \Leftrightarrow  \min_{\bm{\beta}} (\bm{Y}-\bm{X}\bm{\beta})^{T} (\bm{Y}-\bm{X}\bm{\beta})
\end{eqnarray} 
Παραγωγίζοντας καταλήγουμε πως οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων προκύπτουν ως λύσεις των εκτιμητικών εξισώσεων
\begin{eqnarray} \label{multestimeq}
\bm{X}^{T}(\bm{Y}-\bm{X}\bm{\beta})=\bm{0}_{p}
\end{eqnarray} 
Οι εκτιμητής ελαχίστων τετραγώνων προκύπτει ως λύση του παραπάνω γραμμικού συστήματος $p$ εξισώσεων:
\begin{eqnarray} \label{multlsestmath}
\hat{\bm{\beta}}=(\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{X}^{T}\bm{Y}.
\end{eqnarray} 
Προφανώς για τα υπόλοιπα $\hat{\bm{\epsilon}}=\bm{Y}-\bm{X}\hat{\bm{\beta}}$ της προσαρμογής ισχύει 
\begin{eqnarray} 
\bm{X}^{T}\hat{\bm{\epsilon}}=\bm{0}_{p},
\end{eqnarray} 
δηλαδή τα υπόλοιπα υπόκεινται σε $p$ γραμμικούς περιορισμούς (και άρα δεν μπορεί να είναι στατιστικά συσχέτιστα).
Προκύπτει άμεσα πως 
\begin{eqnarray} 
Ε(\hat{\bm{\beta}}) & = & E((\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{X}^{T}\bm{Y}) = (\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{X}^{T}E(\bm{Y}) = (\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{X}^{T}\bm{X}\bm{\beta}=\bm{\beta} \nonumber \\
Var(\hat{\bm{\beta}}) & = & Var((\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{X}^{T}\bm{Y}) =  (\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{X}^{T}Var(\bm{Y})\bm{X} (\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1} \nonumber \\
& = &  (\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{X}^{T}  \sigma^{2} \bm{I}_{n}  \bm{X} (\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1} =  \sigma^{2} (\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}.
\end{eqnarray}
Στα παραπάνω αποτελέσματα καταλήξαμε χρησιμοποιώντας το γεγονός πως αν $\bm{U}$ είναι ένα $m \times 1$ τυχαίο διάνυσμα και $\bm{C}$ ένας $k \times m$ πίνακας σταθερών, τότε    $ \bm{C}\bm{U} $  είναι ένα $ k \times 1$ τυχαίο διάνυσμα με $Ε(\bm{C}\bm{U})=\bm{C}Ε(\bm{U})$ και $Var(\bm{C}\bm{U})=\bm{C}Var(\bm{U})\bm{C}^{T},$ ένας $k \times k$ πίνακας.

Ο $p \times p$  πίνακας διακυμάνσεων-συνδιακυμάνσεων του $\hat{\bm{\beta}}$
\[ 
Var(\hat{\bm{\beta}})= \sigma^{2} (\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}=
\begin{bmatrix}
var(\hat{\beta}_{0}) & cov(\hat{\beta}_{0}, \hat{\beta}_{1}) & cov(\hat{\beta}_{0}, \hat{\beta}_{2}) & \ldots & cov(\hat{\beta}_{0}, \hat{\beta}_{p-1})   \\
cov(\hat{\beta}_{1}, \hat{\beta}_{0})  & var(\hat{\beta}_{1}) & cov(\hat{\beta}_{1}, \hat{\beta}_{2}) & \ldots & cov(\hat{\beta}_{1}, \hat{\beta}_{p-1})  \\
cov(\hat{\beta}_{2}, \hat{\beta}_{0})  & cov(\hat{\beta}_{2}, \hat{\beta}_{1})  & var(\hat{\beta}_{2}) & \ldots & cov(\hat{\beta}_{2}, \hat{\beta}_{p-1})  \\
\vdots  & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
cov(\hat{\beta}_{p-1}, \hat{\beta}_{0})  & cov(\hat{\beta}_{p-1}, \hat{\beta}_{1})  & cov(\hat{\beta}_{p-1}, \hat{\beta}_{2}) & \ldots & var(\hat{\beta}_{p-1})
\end{bmatrix}
\]
έχει στην διαγώνιο τις διασπορές των εκτιμητριών  ( $var(\hat{\beta}_{i}) =  \sigma_{\hat{\beta}_{i}}^{2}$) και εκτός διαγωνίου τις συνδιασπορές μεταξύ των εκτιμητριών ($cov(\hat{\beta}_{i}, \hat{\beta}_{j})= \sigma_{\hat{\beta}_{i},\hat{\beta}_{j}}  $)  .


Οι προσαρμοσμένες τιμές είναι 
\begin{eqnarray}
\hat{\bm{Y}} & = & \bm{X}\hat{\bm{\beta}}= \bm{X}(\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{X}^{T}\bm{Y} \nonumber \\
 & = & \bm{H}\bm{Y}. 
\end{eqnarray} 
Ο πίνακας $\bm{H}= \bm{X}(\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{X}^{T}$ είναι  συμμετρικός και ταυτοδύναμος, δηλαδή ισχύει $\bm{H}^{2}=\bm{H}$ (δείξτε το) και λέγεται {\en Hat Matrix}. Ισχύει πως
\begin{eqnarray}
\bm{HX} & = & \bm{X}(\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{X}^{T}\bm{X}=\bm{X} \nonumber \\
 (\bm{Ι}_{n}-\bm{H})\bm{X} & = & \bm{0}
\end{eqnarray} 
Τα υπόλοιπα είναι  
\begin{eqnarray}
\hat{\bm{\epsilon}} & = & \bm{Y} -  \hat{\bm{Y}} =   \bm{Y}-\bm{X}\hat{\bm{\beta}}= \bm{Y}-\bm{X}(\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{X}^{T}\bm{Y} \nonumber \\
 & = & (\bm{I}_{n}- \bm{H})\bm{Y} = (\bm{I}_{n}- \bm{H})\bm{X \beta} +(\bm{I}_{n}- \bm{H}) \bm{\epsilon}  = (\bm{I}_{n}- \bm{H}) \bm{\epsilon}   
\end{eqnarray}
Ο πίνακας $ (\bm{I}_{n}- \bm{H}) $ είναι συμμετρικός και ταυτοδύναμος , δηλαδή ισχύει $(\bm{I}_{n}- \bm{H})^{2}=(\bm{I}_{n}- \bm{H})$ (δείξτε το).


Μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της διασποράς των σφαλμάτων $\sigma^{2}$ δίνεται από 
\begin{eqnarray}
s^{2}  & = & \frac{1}{n-p} \sum{ (Y_{i} - \hat{Y}_{i})^{2}}=  \frac{1}{n-p} \sum{  \hat{\epsilon}_{i}^{2}}  \nonumber \\
 & = & \frac{1}{n-p} \hat{\bm{\epsilon}}^{T} \hat{\bm{\epsilon}}  =  \frac{1}{n-p} \bm{Y}^{Τ} (\bm{I}_{n}- \bm{H})   \bm{Y}  \; (= \frac{1}{n-p} \bm{\epsilon}^{Τ} (\bm{I}_{n}- \bm{H})   \bm{\epsilon} 
\end{eqnarray}

Αντικαθιστώντας το $\sigma^{2}$ με την εκτιμήτρια $s^{2}$ στον $p \times p$  πίνακα διακυμάνσεων-συνδιακυμάνσεων του $\hat{\bm{\beta}}$ παίρνουμε 
\[ 
\hat{Var}(\hat{\bm{\beta}})= s^{2} (\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}=
\begin{bmatrix}
\hat{var}(\hat{\beta}_{0}) & \hat{cov}(\hat{\beta}_{0}, \hat{\beta}_{1}) & \hat{cov}(\hat{\beta}_{0}, \hat{\beta}_{2}) & \ldots & \hat{cov}(\hat{\beta}_{0}, \hat{\beta}_{p-1})   \\
\hat{cov}(\hat{\beta}_{1}, \hat{\beta}_{0})  & \hat{var}(\hat{\beta}_{1}) &\hat{cov}(\hat{\beta}_{1}, \hat{\beta}_{2}) & \ldots &\hat{cov}(\hat{\beta}_{1}, \hat{\beta}_{p-1})  \\
\hat{cov}(\hat{\beta}_{2}, \hat{\beta}_{0})  &\hat{cov}(\hat{\beta}_{2}, \hat{\beta}_{1})  &\hat{var}(\hat{\beta}_{2}) & \ldots &\hat{cov}(\hat{\beta}_{2}, \hat{\beta}_{p-1})  \\
\vdots  & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
\hat{cov}(\hat{\beta}_{p-1}, \hat{\beta}_{0})  & \hat{cov}(\hat{\beta}_{p-1}, \hat{\beta}_{1})  &\hat{cov}(\hat{\beta}_{p-1}, \hat{\beta}_{2}) & \ldots &\hat{var}(\hat{\beta}_{p-1})
\end{bmatrix}
\],
που είναι η εκτίμηση  του  πίνακα διακυμάνσεων-συνδιακυμάνσεων του $\hat{\bm{\beta}}$ κι έχει στην διαγώνιο τις εκτιμήσεις των διασπορών των εκτιμητριών  ( $\hat{var}(\hat{\beta}_{i}) =  s_{\hat{\beta}_{i}}^{2}$)  και εκτός διαγωνίου τις εκτιμήσεις των συνδιασπορών μεταξύ των εκτιμητριών ($\hat{cov}(\hat{\beta}_{i}, \hat{\beta}_{j})= s_{\hat{\beta}_{i},\hat{\beta}_{j}}  $)    .


\subsection{ Πολλαπλή Κανονική Γραμμική Παλινδρόμηση }
Το μοντέλο για όλες τις παρατηρήσεις γράφεται ως
\begin{eqnarray}   \label{normmultreg}
\bm{Y}  & = & \bm{X}\bm{\beta}+\bm{\epsilon} \nonumber \\
\bm{\epsilon} & \sim  & N(\bm{0}_{n}, \sigma^{2}\bm{I}_{n}),
\end{eqnarray}
όπου για τoν $n \times p$ πίνακα συμμεταβλητών $\bm{X}$ ισχύει $rank(X)=p,$ $\bm{0}_{n}=E(\bm{\epsilon})$ είναι ένα $n \times 1$ διάνυσμα με μηδενικά, $\bm{I}_{n}$ είναι ένας $n \times n$ ταυτοτικός πίνακας με μοναδες στην διαγώνιο και μηδενικά εκτος διαγωνίου. 

Έχουμε πως 
\begin{eqnarray}
\hat{\bm{\beta}} \sim N( \bm{\beta}, Var(\hat{\bm{\beta}}) = \sigma^{2} (\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}),
\end{eqnarray}
από όπου προκύπτει πως κάθε γραμμικός συνδυασμός των εκτιμήσεων των συντελεστών στην παλινδρόμηση ακολουθεί κανονική κατανομή. Πιο συγκεκριμένα, αν πάρουμε ένα $p \times 1$ διάνυσμα $\bm{l} \neq \bm{0}_{p}$ (δηλαδή $\bm{l}^{T}=(l_{0},l_{1},l_{2},\ldots, l_{p-1}) \ne (0,0,0,\ldots,0)$ )τότε 
\begin{eqnarray}
\bm{l}^T\hat{\bm{\beta}} \sim N( \bm{l}^{T}\bm{\beta},  Var(\bm{l}^{T}\hat{\bm{\beta}}) = \bm{l}^{T} Var(\hat{\bm{\beta}})\bm{l} =    \sigma^{2} \bm{l}^{T}(\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{l}),
\end{eqnarray}
από όπου προκύπτει πως 
\begin{eqnarray}
\frac{\bm{l}^T\hat{\bm{\beta}}   - \bm{l}^{T}\bm{\beta}}{ \sigma  \sqrt{ \bm{l}^{T}(\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{l}}}   \sim N( 0,  1),
\end{eqnarray}

Μπορεί να δειχθεί πως 
\begin{eqnarray} \label{multivart}
(n-p) \frac{s^2}{\sigma^{2}} & \sim & \chi_{n-p}^{2} \nonumber \\
s^2 \indep \hat{\bm{\beta}}.
\end{eqnarray}
Άρα, εύκολα προκύπτει
\begin{eqnarray}
\frac{\bm{l}^T\hat{\bm{\beta}}   - \bm{l}^{T}\bm{\beta}}{ s  \sqrt{ \bm{l}^{T}(\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{l}}}  \sim  t_{n-p}.
\end{eqnarray}



\vspace{10mm}

\subsection{Συμπερασματολογία για παραμέτρους, Διάστημα εμπιστοσύνης, Διάστημα Πρόβλεψης}

Από την (\ref{multivart}) προκύπτει πως ένα $100(1-\alpha)$\% Δ.Ε. για τον γραμμικό συνδυασμό $\bm{l}^{T}\bm{\beta}$ δίνεται από 
\begin{eqnarray*}
\bm{l}^T\hat{\bm{\beta}}  \pm t_{n-p; \frac{\alpha}{2}}  \sqrt{\bm{l}^T \hat{Var}(\hat{\bm{\beta}})\bm{l}} ,
\end{eqnarray*}
όπου $t_{n-p; \alpha/2}$ είναι τό \underline{άνω} $\alpha / 2$ ποσοστιαίο σημείο της $t_{n-p}$ κατανομής και $ \hat{Var}(\hat{\bm{\beta}})=s^{2}(\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}.$

Αντίστοιχα, ο έλεγχος της  μηδενικής υπόθεση $H_{o}: \;\bm{l}^{T}\bm{\beta}=r$ έναντι της δίπλευρης εναλλακτικής απορρίπτει την $H_{o}$ σε επίπεδο σημαντικότητας $\alpha$ όταν 
\begin{eqnarray*}
\frac{|\bm{l}^T\hat{\bm{\beta}}-r|}  {  \sqrt{\bm{l}^T \hat{Var}(\hat{\bm{\beta}})\bm{l}}} > t_{n-p; \frac{\alpha}{2}} ,
\end{eqnarray*}


Ως παράδειγμα, αν πάρουμε $\bm{l}$ νά έχει 1 στην $i+1$ θέση και 0 αλλού παίρνουμε ένα $100(1-\alpha)$\% Δ.Ε. για τον συντελεστή $\beta_{i}$
\begin{eqnarray}
\hat{{\beta}}_{i}  \pm t_{n-p; \frac{\alpha}{2}} s_{\hat{\beta}_{i}}
\end{eqnarray}

Αν πάρουμε $\bm{l}=\bm{x}_{0}$, όπου 
\[
\bm{x}_{0}=
  \begin{bmatrix}
1 \\
    x_{01} \\
    x_{02}\\
\vdots \\
 x_{0,p-1}
  \end{bmatrix}\] 
 παίρνουμε ένα $100(1-\alpha)$\% Δ.Ε. για την μέση απόκριση  $\mu_{0}=\bm{x}_{0}^{T}\bm{\beta}=\beta_{0}+\beta_{1}x_{01}+\beta_{2}x_{02}+\ldots+\beta_{p-1}x_{0,p-1}$
\begin{eqnarray}
\hat{Y}_{0} \pm  t_{n-p; \frac{\alpha}{2}} s_{\hat{Y}_{0}} : \nonumber \\
\bm{x}_{0}^{T}\hat{\bm{\beta}} \pm  t_{n-p; \frac{\alpha}{2}}  \sqrt{\bm{x}_{0}^T \hat{Var}(\hat{\bm{\beta}})\bm{x}_{0}}: \nonumber \\
\bm{x}_{0}^{T}\hat{\bm{\beta}} \pm  t_{n-p; \frac{\alpha}{2}}  s \sqrt{\bm{x}_{0}^T  (\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}   \bm{x}_{0}}
\end{eqnarray}
 Χρησιμοποιώντας το γεγονός πως για μια καινούρια παρατήρηση $Y_{0} $ με τιμές συμμεταβλητών $( x_{01},x_{02},\ldots,x_{0,p-1})$ ισχύει $var(Y_{0}-\hat{Y}_{0})=\sigma^{2}+\sigma_{\hat{Y}_{0}}^{2}$ καταλήγουμε σε  ένα $100(1-\alpha)$\% Διάστημα Πρόβλεψης της  $Y_{0} $ :
\begin{eqnarray}
\bm{x}_{0}^{T}\hat{\bm{\beta}} \pm  t_{n-p; \frac{\alpha}{2}}  \sqrt{ s^{2}+\bm{x}_{0}^T \hat{Var}(\hat{\bm{\beta}})\bm{x}_{0}}: \nonumber \\
\bm{x}_{0}^{T}\hat{\bm{\beta}} \pm  t_{n-p; \frac{\alpha}{2}}  s \sqrt{1+\bm{x}_{0}^T  (\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}   \bm{x}_{0}}
\end{eqnarray}

Έστω πως θέλουμε να ελέγξουμε την γενική γραμμική υπόθεση,
\begin{eqnarray} \label{linhyp}
H_{0} & : & \bm{R}\bm{\beta}=\bm{r} \nonumber \\
H_{1}  & : & \bm{R}\bm{\beta} \ne \bm{r}, 
\end{eqnarray}
όπου $\bm{R}$ είναι ένας $q \times p$ πίνακας με $rank(R)=q$,  $q \le p,$ και $\bf{r}$ ένα $q \times 1$ διάνυσμα πραγματικών τιμών. Η σχέση $\bm{R}\bm{\beta}=\bm{r}$ επιβάλλει $q$ περιορισμούς στις παραμέτρους στο $\bm{\beta}.$

Για παράδειγμα αν $ p=4$ και 
\[
\bm{R}=
  \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 
  \end{bmatrix}, \bm{r}=  \begin{bmatrix}
 0 \\
 0 \\
0  
  \end{bmatrix}\],
τότε η $H_{0}: \; \beta_{1}=\beta_{2}=\beta_{3}=0,$ και ο έλεγχος στην (\ref{linhyp}) είναι ο έλεγχος στατιστικής σημαντικότητας της πολλαπλής παλινδρόμησης .

Αν 
\[
\bm{R}=
  \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 
  \end{bmatrix}, \bm{r}=  \begin{bmatrix}
 0 \\
 0 
  \end{bmatrix}, \]
τότε η $H_{0}: \; \beta_{2}=\beta_{3}=0,$ και ο έλεγχος στην (\ref{linhyp}) είναι συνηθίζεται να λέγεται έλεγχος στατιστικής σημαντικότητας των συμμεταβλητών $x_{2}, x_{3}$  σε ένα μοντέλο όπου ήδη υπάρχει (έχει περιληφθεί) η $x_{1}$.


Αν 
\[
\bm{R}=
  \begin{bmatrix}
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 
  \end{bmatrix}, \bm{r}=  \begin{bmatrix}
 0 \\
 0 
  \end{bmatrix},\]
τότε η $H_{0}: \; \beta_{1}=\beta_{2}, \beta_{3}=0,$ και ο έλεγχος στην (\ref{linhyp}) είναι ένας έλεγχος υπόθεσης αν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το πιο περιορισμένο {\en Reduced} μοντέλο $\mu_{i}=\beta_{0} + \beta_{1}(x_{i1}+x_{i2}),$ έναντι του πλήρους {\en Full} μοντέλου, $\mu_{i}=\beta_{0} + \beta_{1}x_{i1}+\beta_{2}x_{i2}+\beta_{3}x_{i3}.$


Πριν δώσουμε την στατιστική συνάρτηση ελέγχου για τον έλεγχο στην  (\ref{linhyp}) θα αναφέρουμε ένα θεώρημα.
\begin{theorem}
Έστω πως το $k \times 1$ τυχαίο διάνυσμα, $\bm{Y},$ έχει πολυμεταβλητή κανονική κατανομή $\bm{Y} \sim N(\bm{\mu}, \bm{\Sigma})$, όπου ο  $k \times k$ πίνακας $\bm{\Sigma}$ είναι θετικά ορισμένος. Τότε 
\begin{eqnarray*}
(\bm{Y}-\bm{\mu})^{T}\bm{\Sigma}^{-1}(\bm{Y}-\bm{\mu}) \sim \chi_{k}^{2}.
\end{eqnarray*} 
\end{theorem}
Καθότι $\bm{R}\hat{\bm{\beta}}-\bm{r} \sim N(\bm{R}{\bm{\beta}}-\bm{r}, \sigma^{2}\bm{R}(\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{R}^{T})$, απλή εφαρμογή του παραπάνω θεωρήματος μας δίνει
τo παρακάτω 
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\sigma^{2}} (\bm{R}\hat{\bm{\beta}}-\bm{r})^{T}(\bm{R}(\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{R}^{T})^{-1}  (\bm{R}\hat{\bm{\beta}}-\bm{r})  \sim^{H_{0}} \chi_{q}^{2}, 
\end{eqnarray*} 
 που σε συνδυασμό με τα αποτελέσματα στη (\ref{multivart}) μας δίνει πως 
\begin{eqnarray}
F & = & \frac{    \frac{(\bm{R}\hat{\bm{\beta}}-\bm{r})^{T}(\bm{R}(\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{R}^{T})^{-1}  (\bm{R}\hat{\bm{\beta}}-\bm{r})}{q} } {s^{2}}  \nonumber \\
    & = &  \frac{    \frac{(\bm{R}\hat{\bm{\beta}}-\bm{r})^{T}(\bm{R}(\bm{X}^{T}\bm{X})^{-1}\bm{R}^{T})^{-1}  (\bm{R}\hat{\bm{\beta}}-\bm{r})}{q} } {\frac{SSE_{Full}}{n-p}}                                 \sim^{H_{0}} F_{q, n-p}. 
\end{eqnarray} 

Μπορεί να αποδειχθεί πως ισοδύναμα
\begin{eqnarray}
F & = &  \frac{    \frac{ SSR_{Full}-SSR_{Red}  }{q} } {\frac{SSE_{Full}}{n-p}}                                  \nonumber \\
    & = &  \frac{    \frac{SSE_{Red}-SSE_{Full}   }{q} } {\frac{SSE_{Full}}{n-p}}                                 \sim^{H_{0}} F_{q, n-p}. 
\end{eqnarray} 


Ως παράδειγμα θεωρήστε την πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση με $n=100$, $p=6$ και θέλουμε να ελέγξουμε την υπόθεση $H_{0}: \;  \beta_{ 3}=\beta_{4}=\beta_{5}=0.$
Η σ.σ.ε. τότε ισούται με 
\begin{eqnarray}
F & = &  \frac{    \frac{SSR(X_{3},X_{4},X_{5}|X_{1},X_{2})  }{3} } {\frac{SSE_{Full}}{100-6}}  ,             
\end{eqnarray} 
όπου $SSR(X_{3},X_{4},X_{5}|X_{1},X_{2})=SSR(X_{3},X_{4},X_{5},X_{1},X_{2})-SSR(X_{1},X_{2})$ είναι το άθροισμα τετραγώνων που "εξηγούν" οι μεταβλητές $X_{3},X_{4},X_{5}$ πέρα των $X_{1},X_{2},$ και μπορεί να υπολογιστεί με τα {\en Sequential Sum of Squares}:
\begin{eqnarray}
SSR(X_{3},X_{4},X_{5}|X_{1},X_{2}) & = & SSR(X_{3}|X_{1},X_{2})    +   SSR(X_{4}|X_{1},X_{2},X_{3})       + SSR(X_{5}|X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})   \nonumber \\
& = & SSR(X_{4}|X_{1},X_{2})    +   SSR(X_{3}|X_{1},X_{2},X_{4})       + SSR(X_{5}|X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})   \nonumber \\
& = & SSR(X_{5}|X_{1},X_{2})    +   SSR(X_{4}|X_{1},X_{2},X_{5})       + SSR(X_{3}|X_{1},X_{2},X_{4},X_{5})   \nonumber \\
& = &  etc..
\end{eqnarray} 


\end{document}