\documentclass{exam}
\usepackage{lscape}
\usepackage{setspace}
\usepackage{color}


\usepackage{bm}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[greek, english]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{calrsfs}
\setcounter{tocdepth}{5}
\newcommand{\en}{\selectlanguage{english}}
\newcommand{\gr}{\selectlanguage{greek}}




\begin{document}

\gr 



\begin{center}
\fbox{\fbox{\parbox{5.5in}{\centering
Πρώτη Εργασία  Γραμμικών και Γενικευμένων Γραμμικών Μοντέλων, ΠΜΣ, ΣΑΧΜ, Πανεμιστήμιο Αιγαίου. \\
Καταληκτική ημερομηνία: {\bf 15/05/2026}}}}
\end{center}

\vspace{5mm}

{\it Σημείωση: Η εργασία καλό είναι να γίνει σε $latex$. Αποφεύγετε να γράφετε εξισώσεις σε $Word.$}
\vspace{5mm}


\begin{questions}


\question (30 μονάδες) Θεωρήστε τη τετραγωνική μορφή $q(y_{1},y_{2},y_{3})=9 y_{1}^{2} + 7 y_{2}^{2} + 3 y_{3}^{2} -2 y_{1}y_{2}+ 4 y_{1}y_{3} -6 y_{2}y_{3}. $
 
 
\begin{parts}
\part Γράψτε τη $q(y_{1},y_{2},y_{3})$ ως $\bm{y}^{\top}\bm{A}\bm{y}$, με $\bm{A}$ να είναι συμμετρικός πίνακας.
\part Χρησιμοποιώντας την απάντησή σας στο προηγούμενο ερώτημα δείξτε πως $q(y_{1},y_{2},y_{3})>0$ , εκτός αν  $ y_{1}=y_{2}=y_{3}=0$. Να μη γίνει χρήση $R$ εδώ.

\vspace{0.20in}

\part Έστω πως $\bm{Y} \sim N(\bm {\mu}, \bm{A}), $ όπου $\bm{\mu}^{\top}=(2, 2, 1)$ και $\bm{A}$ ο πίνακας που βρήκατε παραπάνω.
\begin{subparts}
\subpart Γράψτε τη κατανομή της $(Y_{2}|Y_{1}=y_{1}, Y_{3}=y_{3}).$
\subpart Βρείτε το 1ο τεταρτημόριο, τη διάμεσο και το 3ο τεταρτημόριο της κατανομής της $(Y_{2}|Y_{1}=1, Y_{3}=2).$ Να μη γίνει χρήση $R$ εδώ.
\subpart Υπολογίστε την τιμή της σ.π.π. $f_{\tiny {Y_{2}|Y_{1}=1, Y_{3}=2}}(1.25).$ Επιβεβαιώστε την απάντηση με την $R$. 
\subpart Υπολογίστε την τιμή της α.σ.κ. $F_{\tiny {Y_{2}|Y_{1}=1, Y_{3}=2}}(1.25).$ Επιβεβαιώστε την απάντηση με την $R$. 
\subpart Γράψτε τη κατανομή της $\left((Y_{1},Y_{2})^{\top} | Y_{3}=y_{3} \right).$
\subpart Υπολογίστε την τιμή της  σ.π.π. $f_{{\tiny Y_{1}, Y_{2}|Y_{3}=2}}(2, 2).$ Επιβεβαιώστε την απάντηση με την $R$.
\subpart Με χρήση της $R$ υπολογίστε την $P(Y_{1}>2, Y_{2}>2).$
\subpart Με χρήση της $R$ υπολογίστε την $P(Y_{1}>2, Y_{2}>2 |Y_{3}=1).$
\end{subparts}

\vspace{0.20in}

\part Έστω πως  $\bm{Y} \sim N(\bm{\mu}, \bm{\Sigma}), $ όπου  $\bm{\Sigma}$ είναι ένας $3 \times 3$ θετικά ορισμένος πίνακας. 
\begin{subparts}
\subpart Βρείτε τη κατανομή της τετραγωνικής μορφής $Q=(\bm{Y}-\bm{\mu})^{\top}\bm{B}(\bm{Y}-\bm{\mu}),$ με $\bm{B}=\bm{\Sigma}^{-1/2}\bm{A}\bm{\Sigma}^{-1/2}.$
\subpart Προσεγγίστε με προσωμοίωση ($n_{sim}=100000$) την $P(Q>10)$ με χρήση της $R$.
\subpart Προσεγγίστε με προσωμοίωση ($n_{sim}=100000$), με χρήση της $R,$ το 25\% ποσοστιαίο σημείο της κατανομής της $Q.$
\end{subparts}

\end{parts}



\vspace{0.2in}



\question (8 μονάδες) Θεωρήστε το κανονικό γραμμικό μοντέλο $\bm{Y} \sim N(\bm{X}\bm{\beta}, \bm{\Sigma}= \sigma^{2}\bm{V}),$ όπου $\bm{X}$ είναι ένας $n \times p$ πίνακας συμμεταβλητών με  $rank(X)=p$ και ο πίνακας $\bm{V}$ είναι \underline{γνωστός} {\en p.d.} πίνακας.  

\begin{parts}
\part Γράψτε τη πιθανοφάνεια που προκύπτει από το μοντέλο.
\part Βρείτε τους εκτιμητές μεγίστης πιθανοφάνειας των $\bm{\beta}$ και $\sigma^{2}.$ (Μπορείτε να κάνετε χρήση αποτελεσμάτων του Θεωρήματος 8 στις σημειώσεις μου).
\part Βρείτε τον πίνακα $cov(\hat{\bm{\beta}}_{LS}, \hat{\bm{\epsilon}}_{LS}),$ όπου $\hat{\bm{\epsilon}}_{LS}=\bm{Y}-\bm{X}\hat{\bm{\beta}}_{LS}.$
\end{parts}

 
\vspace{0.2in}

\question (25 μονάδες)  Θεωρήστε το κανονικό γραμμικό μοντέλο $\bm{Y} \sim N(\bm{X}\bm{\beta}, \bm{\Sigma}),$ όπου $\bm{X}$ είναι ένας $n \times p$ πίνακας συμμεταβλητών με  $rank(X)=p.$  Έστω πως υπάρχει αντιστρέψιμος συμμετρικός πίνακας  $\bm{F}$ για τον οποίο $\bm{\Sigma X}= \bm{X F}.$ 
\begin{parts}
\part Δείξτε πως κάτω από αυτή την συνθήκη ισχύει $\hat{\bm{\beta}}_{LS}=\hat{\bm{\beta}}_{MLE}.$
\part Βρείτε την σ.π.π. του $\hat{\bm{\beta}}_{MLE}.$ Η σ.π.π. να γραφεί σαν συνάρτηση του $\bm{F}.$
\part Θεωρήστε το απλό γραμμικό μοντέλο τυχαίων παραγόντων με $n_{i}=n.$ Δείξτε πως στο μοντέλο αυτό ισχύει η παραπάνω συνθήκη, $\bm{\Sigma X}= \bm{X F}.$ Βρείτε τον πίνακα $\bm{F}$ και την κατανομή του $\hat{\bm{\beta}}_{MLE}$
σε αυτό το μοντέλο.
\part Βρείτε τον πίνακα πληροφορίας του $Fisher$ που αφορά \underline{όλες} της παραμέτρους στο απλό γραμμικό μοντέλο τυχαίων παραγόντων με $n_{i}=n.$
\end{parts}

 
\vspace{0.2in}


\question (10 μονάδες) Θεωρήστε 400 παρατηρήσεις από ένα κλασσικό γραμμικό μοντέλο πολλαπλής παλινδρόμησης με μια ποιοτική συμμεταβλητή με 5 στάθμες (κατηγορίες) και δυο ποσοτικές μεταβλητές. Τα σφάλματα είναι ασυσχέτιστα κι ομοσκεδαστικά κι ακολουθούν κανονική κατανομή.
\begin{parts}
\part Γράψτε ένα Γραμμικό μοντέλο που περιλαμβάνει τους κύριους παράγοντες παραπάνω και τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ της ποιοτικής συμμεταβλητής και των δυο ποσοτικών μεταβλητών.
\part Γράψτε την σ.σ.ε. για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης που λέει πως δεν χρειάζεται να συμπεριληφθεί καμμιά αλληλεπίδραση. Βρείτε με χρήση της $R$ την κρίσιμη περιοχή του ελέγχου όταν $\alpha=0.01.$ 
\part Γράψτε την σ.σ.ε. για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης που λέει πως μπορούμε να αγνοήσουμε την ποιοτική μεταβλητή. Βρείτε με χρήση της $R$ την κρίσιμη περιοχή του ελέγχου όταν $\alpha=0.01.$ 
\end{parts}

\vspace{0.2in}

\question (12 μονάδες) 5.2 και 5.5 από το βιβλίο του $Searle,$ σελίδες 154-155.




\vspace{0.2in}

\question (15 μονάδες) Θεωρήστε ένα πείραμα σε ποντίκια εργαστηρίου που αφορά στην εξεύρεση 'κατάλληλης' δοσολογίας ενός ποντικοφάρμακου. Η βιολόγος κάνει ένεση ποντικοφάρμακου σε επίπεδο δόσης $x_{i1},$ στο τυχαία επιλεγμένο ποντίκι $i$ ($i=1,\ldots,18$) που είναι υπέρβαρο ή όχι ( $x_{i2}=1,$ αν είναι υπέρβαρο) και παρατηρεί αν το ποντίκι πέθανε σε χρονικό διάστημα 10 λεπτών.  Η απόκριση, $Y_{ι},$ παίρνει  τη τιμή 1 αν το ποντίκι πεθάνει, αλλιώς παίρνει τη τιμή 0. 
\vspace{0.25in}
\begin{parts}
\part Γράψτε ένα γενικευμένο γραμμικό μοντέλο για τα δεδομένα σας.
\part Γράψτε την πιθανοφάνεια του μοντέλου.
\part Γράψτε τις εκτιμητικές εξισώσεις για την $ML$ εκτίμηση των παραμέτρων, χρησιμοποιώντας τα σφάλματα. 

\vspace{0.15in}
\part Στο αρχείο {\en 'data for logistic regression.docx'} θα βρείτε τα βασικά αποτελέσματα της ανάλυσης του πειράματος.


\begin{subparts}
\subpart Επιβεβαιώσετε πως οι εκτιμήσεις των παραμέτρων είναι όντως $ML$ εκτιμήσεις.
\subpart Δώστε εκτίμηση του λόγου των {\en odds} θανάτου δύο ποντικιών που παίρνουν την ίδια δόση και όπου το ένα ποντίκι είναι υπέρβαρο (το άλλο όχι). 
\subpart Δώστε εκτίμηση του λόγου των {\en odds} θανάτου δύο μη υπέρβαρων ποντικιών όπου το ένα παίρνει δόση κατά 5 μονάδες παραπάνω από το άλλο. 
\end{subparts}
\end{parts}

\vspace{0.2in}

\question (15 μονάδες) Η $Poisson$ παλινδρόμηση με $offset$ μεταβλητή $c$ ορίζεται ως: 
\begin{eqnarray*}
Y_{i} & \sim^{ind} & Poisson(\mu_{i}) \nonumber \\
\mu_{i} & = & c_{i}exp(\beta_{0}+\beta_{1}x_{i}), \; \; i=1,\ldots,n.
\end{eqnarray*}
Π.χ., στο παράδειγμα με το ΑΧΕΠΑ το $offset$ θα μπορούσε να είναι ο όγκος του δείγματος των λυμμάτων όπου γίνεται η καταμέτρηση.
\begin{parts}
\part Γράψτε τον λογάριθμο της πιθανοφάνειας.
\part Βρείτε τις εκτιμητικές εξισώσεις μεγίστης πιθανοφάνειας για τη $Poisson$ παλινδρόμηση με $offset$.
\part Βρείτε αναλυτικά την ασυμπτωτική κατανομή του $\hat{\bm{\beta}}_{MLE}.$
\end{parts}


\end{questions}

\vspace{0.2 in}

\underline{Σημείωση:} Να εξηγείτε κάθε βήμα και να δίνετε τις εντολές της $R$ όταν το ερώτημα ζητεί χρήση της.

\en
\end{document}
